19/12/12

Latidos de cantor

La Hipótesis del Contínuo (en la literatura denominada HC) formulada por Georg Cantor, establece que

$$2^{\aleph_0}=\aleph_1$$
Es decir, que \[\aleph=\aleph_1\], donde $$\aleph=2^{\aleph_0}$$ es la llamada “potencia del contínuo”, o cardinal del conjunto de los números reales, que sería el siguiente transfinito luego del infinito numerable.

Infructuosos fueron los denodados intentos de Cantor por probar la hipótesis, la cual le otorgaba al paraíso transfinito -que él mismo había creado- una simetría bella y maravillosa. No habría otro transfinito entre el aleph numerable y la potencia del contínuo.

La Hipótesis Generalizada del Contínuo (en la literatura HGC) generalizaba esta relación:

$$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$$
Para todo (ordinal finito o transfinito). Así pues, no había ningún transfinito entre el cardinal de un conjunto, y el cardinal de su conjunto potencia (o conjunto de partes), y esto se extendía a toda la serie (bien)ordenada de los números transfinitos.

La historia, cruel con las esperanzas de Cantor, y con la ilusión de tan bella simetría, deparó que la HC resultara indemostrable en el marco de los axiomas ZF o NBG. Entre Gödel y Cohen quedó sentenciada la independencia de la HC dentro del conjunto de axiomas de la teoría de conjuntos: podía aceptársela como no. La HC o su negación serían ambos axiomas válidos. Una lágrima celestial habrá rodado por la mejilla de Georg Cantor, allá en el topos uranos de la matemática (aunque bien es posible que su alma, allí, haya podido contemplar, puras y espléndidas, las verdades que en este mundo le fueron esquivas).

Hay, sin embargo, una identidad que de modo sorprendente involucra a los tres cardinales de la HC, la cual ciertamente no es la HC, pero encuentra a los tres transfinitos juntos en una misma ecuación:

$$\aleph_1^{\aleph_0}=\aleph$$
o, lo que es lo mismo

$$\aleph_1^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$$
Y su demostración es notablemente sencilla.

Sabemos que

$$2^{\aleph_0}\geq\aleph_1$$
por tanto

$$({2^{\aleph_0}})^{\aleph_0}\geq(\aleph_1)^{\aleph_0}$$
Pero

$$({2^{\aleph_0}})^{\aleph_0}=$$ $$2^{\aleph_0.\aleph_0}=$$ $$2^{\aleph_0}=\aleph$$
Así pues [1]:

$$ \aleph\geq\aleph_1^{\aleph_0}$$
Por otro lado tenemos que

$$\aleph_1\geq2$$
Así que

$$\aleph_1^{\aleph_0}\geq2^{\aleph_0}$$
Como señalamos al principio $$\aleph=2^{\aleph_0},$$ con lo cual [2:]

$$\aleph_1^{\aleph_0}\geq\aleph$$
De [1] y [2], entonces, se sigue que

$$\aleph_1^{\aleph_0}=\aleph$$ QED.

El corazón de Georg Cantor –que durante su vida conoció este resultado- seguramente se habrá estremecido, trepidante de emoción, al ver juntos los tres transfinitos.

 
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