19/12/12

Latidos de cantor

La Hipótesis del Contínuo (en la literatura denominada HC) formulada por Georg Cantor, establece que

$$2^{\aleph_0}=\aleph_1$$
Es decir, que \[\aleph=\aleph_1\], donde $$\aleph=2^{\aleph_0}$$ es la llamada “potencia del contínuo”, o cardinal del conjunto de los números reales, que sería el siguiente transfinito luego del infinito numerable.

Infructuosos fueron los denodados intentos de Cantor por probar la hipótesis, la cual le otorgaba al paraíso transfinito -que él mismo había creado- una simetría bella y maravillosa. No habría otro transfinito entre el aleph numerable y la potencia del contínuo.

La Hipótesis Generalizada del Contínuo (en la literatura HGC) generalizaba esta relación:

$$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$$
Para todo (ordinal finito o transfinito). Así pues, no había ningún transfinito entre el cardinal de un conjunto, y el cardinal de su conjunto potencia (o conjunto de partes), y esto se extendía a toda la serie (bien)ordenada de los números transfinitos.

La historia, cruel con las esperanzas de Cantor, y con la ilusión de tan bella simetría, deparó que la HC resultara indemostrable en el marco de los axiomas ZF o NBG. Entre Gödel y Cohen quedó sentenciada la independencia de la HC dentro del conjunto de axiomas de la teoría de conjuntos: podía aceptársela como no. La HC o su negación serían ambos axiomas válidos. Una lágrima celestial habrá rodado por la mejilla de Georg Cantor, allá en el topos uranos de la matemática (aunque bien es posible que su alma, allí, haya podido contemplar, puras y espléndidas, las verdades que en este mundo le fueron esquivas).

Hay, sin embargo, una identidad que de modo sorprendente involucra a los tres cardinales de la HC, la cual ciertamente no es la HC, pero encuentra a los tres transfinitos juntos en una misma ecuación:

$$\aleph_1^{\aleph_0}=\aleph$$
o, lo que es lo mismo

$$\aleph_1^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$$
Y su demostración es notablemente sencilla.

Sabemos que

$$2^{\aleph_0}\geq\aleph_1$$
por tanto

$$({2^{\aleph_0}})^{\aleph_0}\geq(\aleph_1)^{\aleph_0}$$
Pero

$$({2^{\aleph_0}})^{\aleph_0}=$$ $$2^{\aleph_0.\aleph_0}=$$ $$2^{\aleph_0}=\aleph$$
Así pues [1]:

$$ \aleph\geq\aleph_1^{\aleph_0}$$
Por otro lado tenemos que

$$\aleph_1\geq2$$
Así que

$$\aleph_1^{\aleph_0}\geq2^{\aleph_0}$$
Como señalamos al principio $$\aleph=2^{\aleph_0},$$ con lo cual [2:]

$$\aleph_1^{\aleph_0}\geq\aleph$$
De [1] y [2], entonces, se sigue que

$$\aleph_1^{\aleph_0}=\aleph$$ QED.

El corazón de Georg Cantor –que durante su vida conoció este resultado- seguramente se habrá estremecido, trepidante de emoción, al ver juntos los tres transfinitos.

18/4/11

Mi gini

Seauna curva de Lorenz



Donde se verifica que




Sean {} valores de tales que



Esto es:




También se cumple que es una función creciente




Sean {}, donde



En general se cumple que






Es decir, tenemos los valores y que representan las frecuencias acumuladas de población y de ingresos respectivamente, del agrupamiento de la población en deciles.

El Ratio de Concentración de Gini se define como el cociente entre el área A comprendida entre las curvas y

y el área del triángulo 0, (1,0), (1,1), es decir el área bajo la curva



Pero como tenemos que




y


resulta



Pero, puesto que



Es decir



Con lo cual el problema se reduce a calcular el factor



que denominamos B. Siendo que es una función definida por tramos, cada uno de los cuales es lineal, la cuestión se reduce si consideramos que



Donde cacda Bi es uno de los paralelogramos



Si se descompone cada paralelogramo en dos partes:



Podemos calcular por separado y de modo más sencillo las respectivas áreas de cada Ti y Qi

Tenemos que



Siendo que cuando entonces , según se aprecia en el gráfico para el primer cuantil.

En caso del triángulo , es




Entonces




Si ahora sumamos respecto de i



Es decir



Como , entonces




Es decir:

QED

5/4/10

Trivial...

...aunque sutil. En verdad siempre divierten estos malabarismos.

donde PG es "poverty gap", la brecha de pobreza, H es el recuento o incidencia de la pobreza, I es el cociente de brecha de ingreso, n es la población, q es la cantidad de pobres, z la LP, yi el ingreso del individuo i bajo la LP.

21/4/09

Un indice de la Brecha Salarial

El objeto de este apunte es definir un número índice tal que refleje la evolución de las brechas salariales entre, por un lado el salario medio privado no registrado, y por otro el salario medio privado registrado como referente; y lo mismo respecto al salario medio del sector público y el nivel general de salarios.

Los insumos son los Indices de Salarios que confecciona mensualmente el INDEC.

Sean

SRt : el salario medio del sector privado registrado en el período t

SNt : el salario medio del sector privado no registrado en el período t

Llamamos

------SRt
IRt= ----- . 100 (1)
------SRo


Al indice del salario medio del sector privado registrado. Y a su vez

------SNt
INt= ----- . 100 (2)
------SNo

Al índice del salario medio del sector privado no registrado. La brecha entrambos salarios la definimos como

-----SNt
Bt= ----- . 100 (3)
-----SRt

Esto es, representa el salario medio privado no registrado como porcentual del salario medio privado registrado. Ahora queremos construir el número índice IBt de esta brecha salarial, tal que IBo=100, y su evolución refleje la variación de la brecha definida como líneas arriba.

Sea entonces:

-------Bt
IBNt= ---- . 100 (4)
-------Bo

Tenemos que sustituyendo (3) en (4) se sigue que:

--------SNt
------------ . 100
--------SRt
IBNt= ------------- . 100 =
--------SNo
------------ . 100
--------SRo


--------SNt
------------ . 100
--------SNo
----= ------------- . 100
--------SRt
------------ . 100
--------SRo

-------INt
IBNt= ----- . 100
-------IRt

Que es a lo que deseábamos llegar, una expresión del índice de la brecha salarial en función se los índices de salarios disponibles y conocidos.

Para el caso de la brecha entre salario medio del sector público y del nivel general respecto al salario medio privado registrado, tendríamos que:

-------IPt
IBPt= ----- . 100
-------IRt

-------IGt
IBGt= ----- . 100
-------IRt


QED
_

22/5/08

Una estimación cuantitativa de las variaciones en la distribución del ingreso per cápita de los hogares

En este apunte nos planteamos abordar el siguiente problema: partiendo de los tabulados de hogares estratificados según el ingreso per cápita familiar, en los períodos Mayo 2003 – 1º trimestre de 2007, queremos calcular cuál hubiese sido la distribución resultante en cada una de las mediciones si la distribución inicial –la de Mayo de 2003- se hubiese mantenido sin cambios.

En otras palabras, cuál hubiese sido el ingreso medio per cápita en cada estrato decílico de no haber habido cambios en la distribución, y luego, por diferencia con la distribución efectivamente registrada, obtener cuántos pesos más –en términos nominales- obtuvo cada individuo.

Como los ingresos registrados son promedios mensuales, podemos multiplicar por 3 el registro de cada trimestre, y luego sumar para dar con una cifra que nos indicará en pesos la magnitud efectiva de la redistribución operada durante el gobierno de Néstor Kirchner.

El tabulado de ingresos en el período t lo podemos representar en la siguiente matriz

Donde

i = 1 … 10 : son los deciles


es la masa de ingreso captada por cada decil, y


: es la masa total de ingresos percibida por todos los hogares en el período


: la cantidad de personas de cada decil, y


: es la población total



: es la parte del ingreso total captada por cada decil respecto del total



: es el ingreso medio per cápita de cada decil



: es el ingreso medio per cápita de toda la población

De donde

Pues bien, lo que haremos es aplicar la distribución registrada en mayo de 2003, a la cual denotaremos por

a cada una de las matrices, del 3º trimestre de 2003 al 1º trimestre de 2007 a fin de obtener en ingreso per cápita de cada decil, que resultaría si esa distribución se hubiese mantenido ‘congelada’. La masa total de ingresos de todo el período no cambia, pero sí lo hará la parte de ingreso captada por cada decil, tenemos una nueva distribución de la masa total de ingresos por decil


[1]

Un nuevo ingreso medio per cápita correspondiente a cada decil



[2]


Y una nueva serie de matrices, que podemos llamar ‘serie de distribución congelada en el 2003’:




Donde, por supuesto, lo que interesa es la tercera columna. Podemos calcular ahora la diferencia entre el ingreso per cápita ‘congelado’ y el efectivamente registrado [3]:

A esto lo multiplicamos por 3, puesto que se trata de ingresos promedio trimestrales, y luego los sumamos para todo el período para obtener la diferencia en pesos corrientes entre el ingreso per cápita de los hogares efectivamente registrado y el que hubiera sido de haber quedado ‘congelada’ la distribución de Mayo de 2003 [4]:


Reemplazando ahora, las expresiones [1], en [2], [3] y [4], concluiremos en una expresión que nos permita realizar el cálculo efectivamente.


Es decir

Cada dyi, entonces nos indicará la suma total en pesos corrientes que los individuos de cada decil percibieron como resultado de la modificación de la pauta distributiva vigente en Mayo de 2003. Lo que repartió Néstor, bah.

QED

 
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